MATEMÁTICAS BÁSICAS

PRODUCTOS NOTABLES

productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.

Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente.

Factor común

El resultado de multiplicar un binomio a+b por un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva:

c (a + b) = c a + c b \,

Para esta operación existe una interpretación geométrica, ilustrada en la figura adjunta. El área del rectángulo es

c (a + b) \, (el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas: ca y cb

Ejemplo:

3x (4x + 6y) = 12x^2 + 18xy \,

Cuadrado de un binomio

Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Así:

(a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 \,

Un trinomio de la expresión siguiente: a^2 + 2 a b + b^2 \; se conoce como trinomio cuadrado perfecto.

Cuando el segundo término es negativo, la igualdad que se obtiene es:

(a - b)^2 = a^2 - 2 a b + b^2 \,

En ambos casos el signo del tercer término es siempre positivo.

Ejemplo:

(2x - 3y)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(-3y) + (-3y)^2 \,

Simplificando:

(2x - 3y)^2 = 4x^2 -12xy +9y^2 \,

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Factorizacion

En matemáticas, la factorización es la descomposición de un objeto (por ejemplo, un número, una matriz o un polinomio) en el producto de otros objetos más pequeños (factores), que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza en el binomio conjugado (a - b)(a + b).
La Factorización se utiliza normalmente para reducir algo en sus partes constituyentes. Factorizar enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de la aritmética; factorizar polinomios en el teorema fundamental del álgebra.

Factorizar un monomio:

Para factorizar un monomio solo debes de llevar los números y/o letras a sus factores, o sea, que si los multiplicas entre sí, su resultado será el monomio inicial.adafasfasdfasfasdf

CON NUMEROS PRIMOS:

a¿Por qué del "15" sacamos 3.5 (o 3x5 que es lo mismo)? Porque si lo multiplicamos, su resultado es 15. Pero, ¿Cómo buscamos estos números? fácil, lo más común es utilizar el método de la tablita o parrilla, este método es muy sencillo, y normalmente se enseña en escuelas básicas. Consiste en hacer una cruz y colocar el número que se desea descomponer a la izquierda y a la derecha ir colocando sus divisores más pequeños.
otra version es:

a
Factorizar significa descomponer en dos o mas componentes. Por ejemplo :

Factorizar los siguientes números:

15= 3x 5

27=3 x 9

99 = 9 x 11

6 = 3 x 2

Y así En álgebra se emplearan técnicas que nos ayuden a factorizar expresiones. Como por ejemplo : Diferencia de Cuadrados: Se conocen como diferencia de cuadrados, expresiones de este tipo:

X² - Y² = (X -Y )(X + Y)

Y esa es la manera de factorizarlas. Veamos algunos ejemplos:

4X² - 9Y² = (2x + 3y) (2x - 3y)

25X² - 49Y² = (5x - 7y) (5x + 7y)

c² - 9Y² = (c + 3y) (c - 3y)

De la misma manera lo podemos aplicar a números por ejemplo:

9 - 4 = (3 + 2) (3 - 2)

121 - 81 = (11 + 9) (11 - 9)

64 - 16 = (8 - 4) (8 + 4)

Lo que se hizo fue buscar la raíz cuadrada de cada número y como están restados, se procedió a factorizarlos. Incluso si los números no tuvieran raíz exacta, se puede emplear el mismo procedimiento. Y también se aplica a números fraccionarios. (Como el editor no permite el símbolo raíz cuadrada emplearemos R, así R2 seria raíz cuadrada de 2). Por ejemplo:

5 - 2 = (R5 + R2) (R5 - R2)

9 - 5 = (R9 + R5) (R9 – R5)

11 - 8 = (R11 - R8) (R11 + R8)

125 - 94=( R125 + R94) (R125 - R 94) (a+2x+1)² - ( x+2a+a²)² = (a+1 )² - (x+2a+a²)² = {( a+1 )+(x+2a + a²)} - {( a+1 )-(x+2a + a²)} Respuesta

a
Factorizaciòn de un Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP) Por adición o substracción.

a
Veamos un ejemplo Factorizar a4+ a² +1 (Perdon ese 4 es exponente lo exprese así por que no hay exponente 4 en mi editor) Extraemos raíz cuadrada al primero y tercer termino de lo que quedaría (a² +1 )² pero si desarrollamos nos queda a4 +2a² +1 de lo que notamos que nos sobra 1 a². Para nivelar la igualdad restamos a² a nuestra expresión . Entonces :

a4+ a² +1 = (a ² +1 )² - a²

=(a ² +1+ a) - (a²+1 - a) Respuesta

De manera semejante se resuelven estos ejercicios Factorizar 49m4- 151 m² n4+81 n8 = Aplicamos el paso uno extraer raíz cuadrada al primero y tercer termino:

( 7m² - 9 n4)² = 49 m4-126 m²n4 + 81 n8. "Faltan -25m2n4"

( 7m² - 9 n4)² - 25m²n4= ( 7m² - 9 n4+ 5mn² ) ( 7m² - 9 n4- 5mn² ) Respuesta

Factorizar: a4- 16 a² b²+36 b4 = ( a² - 6 b²)² = a4-12 a²b² + 36 b4x²y² Faltan -4a²b²x²y² ( a² - 6 b²)² - 4a²b² = (a² - 6 b² -2ab) (a² - 6 b² +2ab) Respuesta Factorizar x4+ 2x² y²+y4 Realizando operaciònes ( x² - y²)² = x4-2x²y² + 4 Faltan -4x²y² ( x² - y²)² - 4x²y² = (x² - y² +2xy ) (x² - y² +2xy )

Factorizar un polinomio:

Antes que nada hay que decir que no todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos sí se puede. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.
a

Binomios

Diferencia de Cuadrados
Suma o Diferencia de Cubos
Suma o Diferencia de Potencias impares Iguales
Trinomios
Trinomio Cuadrado Perfecto
Polinomios
Factor Común
Caso I - Factor común

a
Sacar el factor común es extraer la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes.
a

Factor común monomio. Factor común por agrupación de terminosa

ab + ac + ad = a(b + c + d)
ax + bx + ay + by = (a + b)(x + y)

Factor común polinomio:

a
c(a + b) + d(a + b) + e(a + b) = (a + b)(c + d + e)
Caso II - Factor común por agrupación de términos

Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de terminos. Para resolverlo, se agrupan cada una de las características, y se le aplica el primer caso, es decir:

ab+ac+bd+dc

= (ab+ac)+(bd+dc)

= a(b+c)+d(b+c)
= (a+d) (b+c)
Caso III - Trinomio cuadrado perfecto

Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces. Para solucionar un T.C.P. debemos organizar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un parentesis, separandolos por el signos que acompaña al segundo término, al cerrar el parentesis elevamos todo el binomio al cuadrado.
Ejemplo:

(5x − 3y)2=25x2 − 30xy + 9y2
(3x + 2y)2=9x2 + 12xy + 4y2
(x + y)2=x2 + 2xy + y2
4x2 + 25y2 − 20xy

organizando los términos tenemos:

a
4x2 − 20xy + 25y2

a
Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis separados por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:
a

(2x − 5y)2
a
Caso IV - Diferencia de cuadrados

Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma), uno positivo y otro negativo. En los paréntesis deben colocarse las raíces.
Ejemplo:

a
(9y2) − (4x2) = (3y-2x)(3y+2x)
a
Caso V - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

a
Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie. Para solucionarlo, se usan como ayuda los casos número III y IV.

Caso VI - Trinomio de la forma x2 + bx + c

Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis,en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados o restados den como resultado el término del medio.
Ejemplo:

x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)
a2 + 2a − 15 = (a + 5)(a − 3)

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FRACCIÓN ALGEBRAICA

Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios y se representa por

${\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)}}$

donde:

${P(x)}$ es el numerador,

${Q(x)}$ es el denominador,

Se debe cumplir que ${Q(x)\neq 0}$

Ejemplos:

1 ${\displaystyle\frac{x+1}{x^{2}+x+1}}$

2 ${\displaystyle\frac{7x^{2}-7}{7x^{3}-7}}$

3 ${\displaystyle\frac{x+3}{x-3}}$

Fracciones algebraicas equivalentes

Dos fracciones algebraicas

${\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)} \ \ \mbox{y} \ \ \displaystyle\frac{R(x)}{S(x)}}$

son equivalentes, y lo representamos por:

${\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{R(x)}{S(x)}}$

si se verifica que

${P(x)\cdot S(x)=R(x)\cdot Q(x)}$

Es decir, que el producto de extremos sea igual al producto de medios

Ejemplo:

Comprobar si son equivalentes las fracciones algebraicas

${\displaystyle\frac{x+2}{x^{2}-4} \ \ \mbox{y} \ \ \displaystyle\frac{1}{x-2}}$

Verificamos que el producto de extremos sea igual al producto de medios

${\begin{array}{rcl} (x+2)\cdot (x-2) & = & (1)\cdot (x^{2}-4)\\ && \\ x^{2}-4 & = & x^{2}-4 \end{array}}$

Ambos productos son iguales, por lo que concluimos que ambas fracciones son equivalentes

Construcción de fracciones algebraicas equivalentes

Dada una fracción algebraica, si multiplicamos el numerador

y el denominador de dicha fracción por un mismo polinomio distinto de cero,

la fracción algebraica resultante es equivalente a la dada.

Ejemplo:

Si multiplicamos el numerador y el denominador de la fracción algebraica

${\displaystyle\frac{x+3}{x-3}}$

por ${x-1}$ , obtenemos una fracción equivalente

${\displaystyle\frac{x+3}{x-3}=\frac{(x+3)(x-1)}{(x-3)(x-1)}}$

Para verificar que son equivalentes, efectuamos el producto de extremos

por el producto de medios

${(x+3)(x-3)(x-1)=(x+3)(x-1)(x-3)}$

Como en ambos lados se tienen los mismos factores, la igualdad es válida

. Así, ambas fracciones son equivalentes.

Simplificación de fracciones algebraicas

Para simplificar una fracción algebraica se divide el numerador

y el denominador de la fracción por un polinomio que sea factor común de ambos.

Ejemplo:

Simplificar la fracción ${\ \ \displaystyle\frac{x^{2}+4x+4}{x^{2}-4}}$

1Factorizamos el numerador, el cual es un trinomio cuadrado perfecto

${x^{2}+4x+4=(x+2)^{2}}$

2Factorizamos el denominador, el cual es una diferencia de cuadrados

${x^{2}-4=(x-2)(x+2)}$

3Simplificamos por el factor común ${x+2}$ y obtenemos

${\begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{x^{2}+4x+4}{x^{2}-4} & = & \displaystyle\frac{(x+2)^{\xcancel{2}}}{(x-2)\xcancel{(x+2)}} \\ & & \\ & =& \displaystyle\frac{(x+2)}{(x-2)} \end{array}}$

Ejemplo:

Simplificar la fracción ${\ \ \displaystyle\frac{7x^{2}-7}{7x^{3}-7}}$

1Factorizamos el numerador, el cual posee un factor común

y una diferencia de cuadrados

${\begin{array}{rcl} 7x^{2}-7 & = & 7(x^{2}-1) \\ & & \\ & =& 7(x-1)(x+1) \end{array}}$

2Factorizamos el denominador, el cual posee un factor común

y una diferencia de cubos

${\begin{array}{rcl} 7x^{3}-7 & = & 7(x^{3}-1) \\ & & \\ & =& 7(x-1)(x^{2}+x+1) \end{array}}$

3Simplificamos por el factor común ${7(x-1)}$ y obtenemos

${\begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{7x^{2}-7}{7x^{3}-7} & = & \displaystyle\frac{7(x-1)(x+1)}{7(x-1)(x^{2}+x+1)} \\ & & \\ & = & \displaystyle\frac{(x+1)}{(x^{2}+x+1)} \end{array}}$

Amplificación de fracciones algebraicas

Para amplificar una fracción algebraica se multiplica el numerador

y el denominador de la fracción por un mismo polinomio.

Ejemplo:

${\begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{x+2}{x-2} \cdot \frac{x+2}{x+2} & = & \displaystyle\frac{(x+2)^{2}}{(x+2)(x-2)} \\ & & \\ & = & \displaystyle\frac{x^{2}+4x+4}{x^{2}-4} \end{array}}$

Brayan Paz - Utap

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